如何做到线程安全？

首先解决你的问题：

public class Process implements Runnable {
    public static Set<String> set = new HashSet<String>();

    public void run() {
        synchronized (set) {
            // 1、遍历取出set中元素
            // 2、具体业务逻辑
            // 3、清空set
            set.clear();
        }
    }

    public void storage(String str) {
        synchronized (set) {
            set.add(str);
        }
    }
}

在以上两个地方加上synchronized (set)，由于set是static的，所以只有一个实例，被锁住的代码块可以保证同时只有一个线程能运行进去。也就是在【遍历取出set中元素->具体业务逻辑->清空set】的同时，storage方法中的set.add(str)是要阻塞等待上面的操作执行完成才能add。

需要注意的是，不能使用synchronized (this)，因为Process可能会有多个实例（其实根据你给的这些代码我也判断不出是否有多个实例）。
最后给你建议一个性能更好的解决方法：使用阻塞队列ArrayBlockingQueue，因为你的问题是一个典型的生产者消费者模型，而且不需要你自己考虑线程安全问题，阻塞队列本身已经帮你解决了。你的现有的程序中，如果消费者（也就是run方法）正在处理任务，生产者（即storage方法）是不能往队列里面添加任务的。而如果使用ArrayBlockingQueue可以一边生产一边消费。
DEMO：

public class Process implements Runnable {
    // 使用阻塞队列，队列的默认大小10，可以根据需求调整
    public static ArrayBlockingQueue<String> queue = new ArrayBlockingQueue<String>(10);

    public void run() {
        try {
            String task = queue.take(); // 线程安全的方式取一条任务，如果队列为空则阻塞等待直到有新的任务加入进来
            process(task); // 处理任务，具体逻辑
        } catch (InterruptedException e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }

    public void storage(String str) {
        try {
            queue.put(str); // 线程安全的方式加一条任务，如果队列满了则阻塞等待直到消费者取走任务有空间
        } catch (InterruptedException e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }
}

当然以上代码还可以改的模块更清晰可读性更高一点，这里就不再继续写了。