说道数学归纳法，大家并不陌生。
这一节先来回顾一下我们似曾相识的归纳法，然后用它解决一个问题。
先来回忆一个小故事：高斯8岁的时候快速计算连续自然数的和。
咦！你感觉无聊了没：竟然有是这个故事，小时候都不知道听多少遍了。
其实过去这么久了，很多小时候我们耳熟能详的名字，现在对他们及他们的事迹印象没那么深了。
比如罗盛教、高士奇、齐白石、李星华等，多年不说，这样小学课本里的名字就很难想起来了。
闲言少叙，书归正传。看看我讲的高斯故事和你记得一不一样。
话说高斯八岁的时候已经上小学了。一天他的数学老师在家里让老婆打了（什么原因不知道，历史也没记载），所以他到学校就拿小孩子出气。这非常不好嘛，如果按照《乡村教师》里写的有记忆遗传就不需要教师了。他一冲进教室就往黑板上写了一道题目：1加到100是多少？
小孩子嘛，也不知道啥意思，没学过小数也没学过四元数，以为是1+2+3+...+100是多少。其实老师也是这吗想的。他估计小孩子们做完这么复杂的题目心里肯定很难受，和他让老婆打了一样难受。写完后他就坐在教室门口发呆，想着他老婆打他的招式，下一次该怎么躲才能让她老婆打他老婆自己。
这个问题都还没完整的想出来呢，高斯就不知好歹的跑过去大声说“老师我做完了！”老师大吃一惊：尼玛这是要逆天吗？结果拿过来一看：靠，结果真对了！！
(我觉得这个故事很扯淡，导致我认为高斯这个故事是假的）
高斯怎么做的，大家都知道我就不说了。
通过这个故事我们要说数学归纳法：请用归纳法证明对于任意的自然数n，都满足1+2+3+4+···+n=n·(n+1)/2
数学归纳法是一个只针对自然数的法则，和自然数没关系的绝对不能使用归纳法。所以我们不能说：根据归纳法，因为猴子有男女，所以猩猩有男女。
归纳法包含两个过程：
证明自然数1满足这个属性； 假设自然数n满足这个属性，根据n的这个属性证明n+1也有这个属性。
这个有两点要注意：必须先证明1满足这个属性，而不能直接证明任意一个其他确定的自然数有这属性（虽然看起来是一样的，但是逻辑不严密）；要证明n+1有这属性必须是在n的基础上，不能用其他方法证明，否则就不是归纳法了。
我们把假设n有这个属性称为“归纳假设”。
证明：
当n=1时，满足1 = 1· (1 + 1)/2； 假设n=k(k>1)时有1+2+...+k=k·(k+1)/2，我们证明n=k+1时有1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)·(k+1+1)/2。 1+2+3+...+k+(k+1) =k·(k+1)/2 + (k+1) =k·(k+1)/2 +2·(k+1)/2 =(k+1)·(k+1+1)/2。 得证。
前面我们学写过合式公式语法树的高度，我们证明一个和他相关的定理：每个命题逻辑合式公式都含有相同个数的左括号和右括号。
这是命题逻辑中一个重要的定理。
证明：
我们通过合式公式语法树的高度使用数学归纳法。
我们用M（n）表示“每个高度为n的合式公式都有相同的左括号和右括号”。我们需要假设对于任意的k，k<n，都有M (k)成立。以此来证明M(n)成立。不妨设公式Θ的高度为n。
当n=1时，合式公式是一个原子命题，它的左右括号都是0，成立！
当n>1时，合式公式语法树的根节点有四种可能：¬、→、∨、∧，假设根节点是→，其余三种情况同理可证。则公式Θ的形式是(Θ1→Θ2)，Θ1，Θ2是另外两个合式公式。可以肯定的是Θ1和Θ2的语法树高度一定比n小。根据归纳假设，我们已经知道Θ1和Θ2都有相同的左括号和右括号。当把它们组成公式Θ时是(Θ1→Θ2)，又分别增加了一个左括号和右括号。所以Θ依然有相同的左括号和右括号。
得证。
这里的证明需要注意的是，不能和上一题证明一样直接某一个高度的结果。因为合式公式的语法子树高度一般不相等。
