机器学习实战第五章(Chapter5)：Logistic回归-程序原理详解

这一个章节中作者主要运用了Logistic回归分类器进行分类，分类器的函数形式是Sigmoid函数，过程可以概括为：每个输入特征乘以一个回归系数，然后将所有的结果值相加，将总和带入Sigmoid函数中进行分类，整个过程也可以被看成概率估计。

首先先来看书中的一段程序（程序5-1 Logistic回归梯度上升优化算法）

#此函数的作用是读取数据集文件，将数据分别存于两个列表中，在函数最后返回
def LoadDataSet(): #加载数据信息函数
    dataMat = []   #创建空列表
    labelMat = []  #同上
    fr = open('machinelearninginaction/Ch05/testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat, labelMat


def Sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

#梯度上升优化算法
def GradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)        #numpy中的array转(mat)矩阵函数
    labelMat = mat(classLabels).transpose() #同上，另外转置
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001          #梯度移动步长
    maxCycles = 500        #移动循环次数
    weights = ones((n, 1))
    for k in range(maxCycles):              
        h = Sigmoid(dataMatrix * weights)     #回归系数与数据向量相乘带入Sigmoid函数中，得到h，注意h是向量
        error = (labelMat - h)         #误差为标记值（labelMat）-预测值(h)       
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #这个为梯度更新公式，后文介绍
    return weights

执行代码如下，这里省略了import。

if __name__ == "__main__":
    dataArr, labelMat = logRegres.LoadDataSet()
    weights = logRegres.GradAscent(dataArr, labelMat)
    logRegres.PlotBestFit(weights.getA())

上述方程实现的步骤：
1、初始化回归系数；
2、计算整个数据集的梯度；
3、使用alpha*gradient更新回归系数的向量
4、返回回归系数
5、重复2-4步骤R次

设置断点，将程序的debug一下，可以发现：
在LoadDataSet函数中dataArr和labelMat分别为二维列表和一维列表

而在GradAscent函数中，dataArr和labelMat变化为100*3和1*100的矩阵，过程中的乘法是矩阵运算不是单独的变量运算。

现在来介绍程序中涉及到的知识点：

Sigmoid函数

Sigmoid的函数形式为
相比于阶跃函数，Sigmoid函数具有在突变处较平滑、数学上好处理的特点。

下面两个图片为Sigmoid函数在不同尺度下的函数图：

可以看到只要尺度足够大，在x=0点处Sigmoid函数看起来就像阶跃函数一样。
程序中是将回归系数（weights）与数据集相乘（dataMatrix），带入sigmoid函数中得到一个0-1的数（h），h将会与标记值进行比较（label），标记值即准确值，h即预测值，它们两个之间的差距越小代表预测越准确，所以程序的目的主要是使error（误差）变得最小，这就是梯度进行移动的目的。

递推公式

上面程序中有一段程序：

 weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error

文中并没有进行推导，这里借用吴恩达老师的机器学习课来说明一下
首先来说明一下损失函数，损失函数说白了就是预测值与标记值的均平方和，当预测值与标记值愈加相同时，损失函数的返回值越小

而我们程序中的需要改变weights（回归系数）来达到最佳的分类效果，在这个程序中我们的weights中有很多参数（大于等于2），这里就用到了这个公式：

这个公式在书中也进行了讲解，只不过书中讲解较为简单，上式中为两个参数的梯度移动公式，吴恩达老师的意思是这两个参数应该同时变化：

进而推导出以下的式子，这是一个递推式子。

进行推导：

最终化为如下的式子：

上式就是程序中那个递推公式。这里只是简单的公式推导，具体的请大家看吴恩达老师的机器学习课程，讲解的比较详细。
https://www.coursera.org/learn/machine-learning/lecture/zcAuT/welcome-to-machine-learning

程序运行后，得到如下的图像：