五、细胞自动机

原文：Chapter 5 Cellular Automatons

译者：飞龙

协议：CC BY-NC-SA 4.0

自豪地采用谷歌翻译

细胞自动机（CA）是一个世界的模型，带有非常简单的物理。 “细胞”的意思是世界被分成一个大口袋，称为细胞。 “自动机”是一台执行计算的机器 - 它可能是一台真机。，但更多时候，“机器”是数学抽象或计算机的模拟。

本章介绍了史蒂文沃尔夫勒姆（Steven Wolfram）在 20 世纪 80 年代进行的实验，表明一些细胞自动机展示出令人惊讶的复杂行为，包括执行任意计算的能力。

我讨论了这些结果的含义，在本章的最后，我提出了在 Python 中高效实现 CA 的方法。

本章的代码位于本书仓库的chap05.ipynb中。使用代码的更多信息，请参见第？章。

5.1 简单的 CA

细胞自动机 [1] 由规则来管理，它决定系统如何即时演化。时间分为离散的步骤，规则规定了，如何根据当前状态计算下一个时间步骤中的世界状态。

作为一个微不足道的例子，考虑带有单个细胞的细胞自动机（CA）。细胞状态是用变量xi表示的整数，其中下标i表示xi是时间步骤i期间的系统状态。作为初始条件，x0 = 0。

现在我们需要一个规则。我会任意选择xi = x[i-1] + 1，它表示在每个时间步骤之后，CA 的状态会增加 1。到目前为止，我们有一个简单的 CA ，执行简单的计算：它用于计数。

但是这个 CA 是不合规则的；可能的状态数通常是有限的。为了使其成立，我将选择最小的感兴趣的状态数 2，和另一个简单的规则xi = (x[i-1] + 1) % 2，其中%是余数（或模）运算符。

这个 CA 的行为很简单：闪烁。也就是说，在每个时间步之后，细胞的状态在 0 和 1 之间切换。

大多数 CA 是确定性的，这意味着规则没有任何随机元素；给定相同的初始状态，它们总是产生相同的结果。也有不确定性的 CA，但我不会在这里涉及它们。

5.2 Wolfram 的实验

前一节中的 CA 只有一个细胞，所以我们可以将其视为零维，并且它不是很有趣。在本章的其余部分中，我们将探索一维（1-D）CA，后者会变得非常有趣。

说 CA 有维度就是说细胞被安排在一个连续的空间中，这样它们中的一些可以看作“邻居”。在一维中，有三种自然配置：

有限序列：

数量有限的细胞排成一排。除第一个和最后一个之外的所有细胞都有两个邻居。

环：

数量有限的细胞排列成一个环。所有细胞都有两个邻居。

无限序列：

数量无限的细胞排列成一排。

确定系统如何即时演化的规则，基于“邻域”的概念，即“邻域”，即决定给定细胞的下一个状态的一组细胞。

在二十世纪八十年代初，斯蒂芬沃尔夫勒姆发表了一系列论文，对一维 CA 进行了系统的研究。他确定了四大类行为，每一类都比上一个更有趣。

Wolfram 的实验使用了三个细胞的邻域：细胞本身及其左右邻居。

在这些实验中，这些细胞有两个状态，分别表示为 0 和 1，所以规则可以通过一个表格进行汇总，它将邻域状态（状态的三元组）映射为中心细胞的下一个状态。下表展示了一个示例：

prev	111	110	101	100	011	010	001	000
next	0	0	1	1	0	0	1	0

第一行显示邻居可能拥有的八个状态。第二行显示下一个时间步骤中的中心细胞的状态。作为该表的简明编码，Wolfram 建议将第二行读作二进制数。因为二进制 00110010 是十进制的 50，所以 Wolfram 称这个 CA 为“规则 50”。

表 5.1：十个时间步骤之后的规则 50

上图展示了规则 50 在 10 个时间步骤之后的效果。第一行展示第一个时间步骤内的系统状态; 它起始于一个“开”细胞，其余都是“关”。第二行展示下一个时间步骤中的系统状态，以此类推。

图中的三角形是这些 CA 的典型；这是领域形状的结果吗？在一个时间步骤中，每个细胞都会影响任一方向上的邻居的状态。在下一个时间步骤中，该影响可以在每个方向上向一个细胞传播。因此，过去的每个细胞都有一个“影响三角形”，包括所有可能受其影响的细胞。

5.3 CA 的分类

图 5.2：64 个步骤之后的规则 18

有多少种不同的 CA？

由于每个细胞都处于开或关的状态，我们可以用一位来指定细胞的状态。在三个细胞的邻域中，有 8 种可能的配置，因此规则表中有 8 个条目。由于每个条目都占一个位，我们可以使用 8 位指定一个表。使用 8 位，我们可以指定 256 个不同的规则。

Wolfram 的第一个 CA 实验就是测试所有 256 种可能性并尝试对它们进行分类。

在视觉上检查结果时，他提出 CA 的行为可以分为四类。第一类包含最简单（也是最不感兴趣）的 CA，即从几乎任何起始条件演变为相同统一图案的 CA。作为一个简单的例子，规则 0 总是在一个时间步后产生一个空的图案。

规则 50 是第二类的一个例子。它生成一个带有嵌套结构的简单图案；也就是说，该图案包含许多自身的较小版本。规则 18 使嵌套结构更加清晰；图？显示了 64 步后的样子。

这种模式类似于谢尔宾斯基三角形，你可以在 http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle 上阅读。

某些二类 CA 生成的图案复杂而美观，但与第三和第四类相比，它们相对简单。

5.4 随机性

图 5.3：100 个步骤之后的规则 30

第三类包含产生随机性的 CA。规则 30 是一个例子；图？显示 100 个时间步后的样子。

左侧有一个明显的图案，右侧有各种大小的三角形，但中心看起来很随意。事实上，如果你把中间列看做一个比特序列，就很难将其区分于真正的随机序列。它通过了许多统计测试，人们用来测试比特序列是否随机。

产生看起来随机的数字的程序，称为伪随机数字生成器（PRNG）。他们不被认为是真正的随机，因为：

它们中的许多产生规律性序列，可以通过统计来检测。例如，C 标准库中的rand的原始实现，使用了线性同余生成器，生成器生成的序列具有易于检测的序列相关性。
任何使用有限状态（即存储）的 PRNG 最终都会重复。生成器的特点之一就是这种重复周期。
底层过程基本上是确定性的，不同于一些物理过程，如放射性衰减和热噪声，被认为是基本随机的。

现代 PRNG 产生的序列，在统计上与随机值无法区分，并且它们以很长的周期实现，以至于在重复之前宇宙将崩溃。这些发生器的存在，提出了一个问题，即质量好的伪随机序列与由“真正的”随机过程产生的序列之间，是否存在真正差异。在“A New Kind of Science”中，沃尔夫勒姆认为没有（第 315-326 页）。

5.5 确定性

第三类 CA 的存在令人惊讶。为了解释多么令人惊讶，让我从哲学确定性（决定论）开始（参见http://en.wikipedia.org/wiki/Determinism）。许多哲学立场很难准确定义，因为它们有不同的风味。我经常发现，使用从弱到强排列的陈述列表，来定义它们是有用的：

D1：

确定性模型可以对某些物理系统做出准确的预测。

D2：

许多物理系统可以用确定性过程建模，但有些系统本质上是随机的。

D3：

所有事件都是由先验事件造成的，但许多物理系统基本上是不可预测的。

D4：

所有事件都是由先验事件造成的，并且可以（至少原则上）预测。

我构建这个范围的目标是，让 D1 如此弱以至于几乎每个人都会接受它，D4 如此强以至于几乎没有人会接受它，并且有些人会接受中间的陈述。

作为对历史发展和科学发现的回应，世界舆论的质心沿着这个范围摆动。在科学革命之前，许多人认为宇宙的运作基本上是不可预测的，或由超自然力量所控制。在牛顿力学的胜利之后，一些乐观主义者开始相信像 D4 这样的东西；例如，皮埃尔-西蒙拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在 1814 年写道：

我们可以把宇宙的现状看作过去的果和未来的因。一个智能在某个特定的时刻，知道所有使自然运动的力量，以及构成自然的所有物品的所有位置，如果它也足够大，来提交这些数据用于分析，它会将宇宙最大的天体和最小的原子的运动汇总成一个公式；对于这样的智能来说，没有什么是不确定的，未来就像过去一样会存在于它的眼前。

这种“智能”被称为“拉普拉斯的恶魔”。见

5.6 飞船

图 5.4：100 步之后的规则 110

第四类 CA 的行为更令人惊讶。几个一维 CA，最着名的是规则 110，是图灵完备的，这意味着他们可以计算任何可计算的函数。这个属性也称为普遍性，由 Matthew Cook 在 1998 年证明。请参阅 http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_110。

图？展示了初始条件为单个细胞和 100 个时间步骤的规则 110 的样子。在这个时间尺度上，没有发生什么特别的事情。有一些有规律的模式，但也有一些难以表述的特征。

图？展示了更大的图像，它起始于一个随机的初始条件和 600 个时间步骤：

图 5.5：初始条件随机和 600 个时间步骤的规则 110

经过大约 100 个步骤后，背景变成了简单的重复模式，但背景中有一些持久性结构表现为干扰。其中一些结构是稳定的，所以它们表现为垂直线条。其他的在空间中平移，表现为不同斜率的对角线，取决于它们移动一列所需的时间步数。这些结构被称为飞船。

飞船之间的碰撞产生不同的结果，取决于飞船的类型和它们碰撞时的阶段。一些碰撞歼灭两艘船，其他船只保持不变；还有一些产生不同类型的一艘或多艘船只。

这些碰撞是 CA 规则 110 中的计算基础。如果你将飞船视为通过电线传播的信号，并将碰撞视为计算 AND 和 OR 等逻辑运算的门，那么你可以看到 CA 执行计算的意义。

5.7 通用性

为了理解通用性，我们必须理解可计算性理论，它关于计算模型和计算的东西。

最通用的计算模型之一是图灵机，它是由艾伦图灵在 1936 年提出的一种抽象计算机。图灵机是一个一维 CA，两个方向上都是无限的，并增加了一个读写头。在任何时候，头部都位于一个细胞上。它可以读取该细胞的状态（通常只有两种状态），并可以将新值写入细胞中。

此外，该机器还有一个寄存器，用于记录机器的状态（有限数量的状态之一）和一张规则表。对于每个机器状态和细胞状态，表格规定一个操作。操作包括修改头部所在的细胞，并向左或向右移动一个细胞。

图灵机并不是计算机的实际设计，但它模拟了常见的计算机体系结构。对于在真实计算机上运行的给定程序，（至少原则上）可以构造一个执行等效计算的图灵机。

图灵机很有用，因为它可以刻画一组图灵机可以计算的函数，这就是图灵所做的事情。这个集合中的函数被称为图灵可计算的。

说图灵机可以计算任何图灵可计算函数，是一个赘述：根据定义它是真的。但图灵可计算性比这更有趣。

事实证明，任何人提出的每个合理的计算模型都是图灵完备的；也就是说，它可以计算与图灵机完全相同的一组函数。其中一些模型，如 lamdba 演算，与图灵机非常不同，所以它们的等价性令人惊讶。

这种观察产生了丘奇-图灵理论，它基本上定义了可计算的含义。这个“理论”是，图灵可计算性是可计算性的正确，或至少是自然定义，因为它描述了这种计算模型的多样化集合的威力。

CA 规则 110是另一种计算模型，其简单性非常出色。它也是通用的，为丘奇-图灵理论提供了支持。

在“A New Kind of Science”中，沃尔夫勒姆阐述了这个理论的一个变种，他称之为“计算等价性原理”：

几乎所有不明显的简单过程，都可以看作是具有复杂性相同的计算。
更具体来说，计算等价性原理表明，在自然界中发现的系统可以执行达到最高（“通用”）级别的计算能力的计算，并且大多数系统实际上实现了这种最高级别的计算能力。因此，大多数系统在计算上是等效的（参见 http://mathworld.wolfram.com/PrincipleofComputationalEquivalence.html）。

将这些定义应用于 CA，第一类和第二类“显然很简单”。第三类可能不那么明显，但在某种程度上，完美的随机性就像完美的顺序一样简单；复杂性存在于中间。所以 Wolfram 声称第四类行为在自然界中很常见，并且几乎所有表现它的系统在计算上都是等价的。

5.8 可证伪性

沃尔夫勒姆认为，他的原则比丘奇图灵理论更强大，因为它是关于自然界的，而不是抽象的计算模型。但是说自然过程“可以看作计算”，使我觉得像理论选择的陈述。而不仅仅是自然世界的假设。

此外，对于像“几乎”和“明显简单”这样的未定义术语的资格，他的假设可能是不可证伪的。可证伪性是科学哲学的一个观点，由卡尔波普尔（Karl Popper）提出，作为科学假说与伪科学之间的界限。如果一个假设是假的，并且有一个实验，至少在实用性领域，它能反驳这个假设，那么这个假设是可证伪的。

例如，地球上的所有生命都来自共同祖先的说法是可证伪的，因为它对现代物种（在其他东西中）的基因相似性做出了特定的预测。如果我们发现了一种新物种，它的 DNA 与我们的 DNA 几乎完全不同，那么这就反驳了共同血统理论（或者至少引起质疑）。

另一方面，所谓“神创论”，即所有物种都是由超自然力量创造出来的，是不可证实的，因为没有任何我们可以观察到的，与自然世界相矛盾的东西。任何实验的结果都可以归因于创作者的意志。

不可证伪的假设可能有吸引力，因为不可能反驳它们。如果你的目标是永远不会被证明是错误的，你应该尽可能选择不可证伪的假设。

但是，如果你的目标是对世界做出可靠的预测 - 而这至少是科学的目标之一 - 那么不可证伪的假设是无用的。问题是他们没有结果（如果他们有结果，他们将是可证伪的）。

例如，如果神创论是真实的，那我知道它有什么好处呢？它不会告诉我任何造物主的事情，除了他有一种“对甲虫的非常喜爱”（归因于 J. B. S. Haldane）。不同于共同血统理论，它通告许多科学和生物工程领域，理解这个世界或者为之行动是没有用的。

5.9 这是什么模型？

图 5.6：一个简单物理模型的逻辑结构

一些细胞自动机主要是数学工艺品。它们很有趣，因为它们令人惊讶，或者有用，或者漂亮，或者因为它们提供了创建新式数学的工具（比如丘奇图灵定理）。

但是，它们是不是物理系统的模型还并不清楚。如果他们是，他们是高度抽象的，也就是说他们并不很详细或现实。

例如，某些锥螺物种在它们的壳上产生图案，类似于由细胞自动机产生的图案（参见en.wikipedia.org/wiki/Cone_snail）。所以假设 CA 是随着壳长大而在壳上产生图案的机制的模型，这是很自然的。但是，至少在最初阶段，模型元素（所谓的细胞，邻居之间的通信，规则）如何对应成长的蜗牛（真实细胞，化学信号，蛋白质交互网络）的元素，还并不清楚。

对于传统的物理模型，现实是一种优点。如果模型的元素对应物理系统的元素，则模型和系统之间有明显的类比。总的来说，我们期望更现实的模型能够做出更好的预测，并提供更可信的解释。

当然，这只是一个事实。更详细的模型更难以处理，并且通常不太适合分析。在某些时候，模型变得如此复杂，以至于直接对系统进行实验更容易。

在另一个极端，简单的模型可以完全引人注目，因为它们很简单。

简单模型提供了与详细模型不同的解释。使用详细的模型，论述就像这样：“我们对物理系统S感兴趣，所以我们构造了一个详细模型M，并且通过分析和模拟表明M表现出一种行为B，它与实际系统的观察O（定性或定量地）相似。那么为什么O会发生？因为S类似于M，而B类似于O，我们可以证明M导致B。”

使用简单的模型，我们不能说S与M相似，因为它不是。相反，论述是这样的：“有一组模型共享一组共同的特征。任何具有这些特征的模型都表现出行为B。如果我们进行类似于B的观察O，解释它的一种方式是，这表明系统S具有足以产生1的一组特征。”

对于这种说法，增加更多的特征并没有帮助。使模型更真实不会使模型更可靠；它只掩盖了导致O的基本特征，和S特有的附带特征之间的差异。

图？显示了这种模型的逻辑结构。特征x和y足以产生行为。增加更多细节，如特征w和z，可能会使模型更加逼真，但是这种现实并没有增加解释力。

5.10 CA 的实现

图 5.7：列表的列表（左）和 NumPy 数组（右）

为了生成本章中的图形，我编写了一个名为 CA 的 Python 类，它代表细胞自动机，以及用于绘制结果的类。在接下来的几节中，我会解释他们如何工作。

为了存储 CA 的状态，我使用了 NumPy 数组，这是一个多维数据结构，其元素类型都相同。它与嵌套列表类似，但通常更小更快。图？说明了原因。左侧的图展示了整数列表的列表；每个点表示一个引用，它占用 4-8 个字节。要访问其中的一个整数，你必须跟随两个引用。

右图显示了相同整数的数组。因为这些元素大小都相同，所以它们可以连续存储在内存中。这种安排节省了空间，因为它不使用引用，并且节省了时间，因为可以直接从下标计算元素的位置；没有必要跟随一系列的引用。

为了解释我的代码如何工作，我将以一个 CA 开始，它计算每个邻域中细胞的“奇偶性”。如果数字是偶数，则数字的奇偶性为 0；如果数字为奇数，则奇偶性为 1。

首先，我在第一行的中间，创建带有单个 1 的零数组。

>>> rows = 5
>>> cols = 11
>>> ca = np.zeros((rows, cols))
>>> ca[0, 5] = 1
print(ca)
[[ 0.  0.  0.  0.  0.  1.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]]

plot_ca用图形展示了结果。

mport matplotlib.pyplot as plt

def plot_ca(ca, rows, cols):
    cmap = plt.get_cmap('Blues')
    plt.imshow(array, interpolation='none', cmap=cmap)

按照约定，我使用缩写名称plt引入了pyplot。 imshow将数组视为“图像”并显示它。使用颜色表'Blues'，将“开”细胞绘制为深蓝色，“关”细胞绘制为淡蓝色。

现在，为了计算下一个时间步中的 CA 状态，我们可以使用step：


def step(array, i):
    rows, cols = array.shape
    for j in range(1, cols):
        array[i, j] = sum(array[i-1, j-1:j+2]) % 2

参数ca是表示 CA 状态的 NumPy 数组。 rows和col是数组的维数，而i是我们应该计算的时间步骤的索引。我用i来表示数组的行，它们对应于时间，j表示对应于空间的列。

在step内部，我们遍历第i行的元素。每个元素是来自上一行的三个元素的总和，并对 2 取余。

5.11 互相关

上一节中的step函数很简单，但速度并不是很快。一般来说，如果我们用 NumPy 操作替换循环，我们可以加速这样的操作，因为 Python 解释器中的for循环会产生大量开销。在本节中，我将展示如何使用NumPy函数相关来加快步骤。

首先，我们可以使用数组乘法来代替切片运算符来选择邻域。具体来说，我们将数组乘以一个窗口，其中我们想要选择的细胞为一，其余为零。

例如，以下窗口选择前三个元素：


>>> window = np.zeros(cols, dtype=np.int8)
>>> window[:3] = 1
>>> print(window)
[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0]

如果我们乘以数组的最后一行，我们会得到前三个元素：

>>> print(array[4])
>>> print(window * array[4])
[0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0]
[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

现在我们可以使用sum和模运算符来计算下一行的第一个元素：


>>> sum(window * array[4]) % 2
1

如果我们将窗口向右移动，它会选择接下来的三个元素，以此类推。所以我们可以像这样重写step：


def step2(array, i):
    rows, cols = array.shape
    window = np.zeros(cols)
    window[:3] = 1
    for j in range(1, cols):
        array[i, j] = sum(window * array[i-1]) % 2
        window = np.roll(window, 1)

roll将窗口向右移动（它也把末尾的补在开头，但不影响这个函数）。

step2产生step的相同结果。它仍然不是非常快，但是它朝着正确的方向迈出了一步，因为我们刚刚执行的操作（乘以窗口，将结果相加，移动窗口并重复）用于各种应用。它被称为互相关，而 NumPy 提供了一个称为correlate的函数来计算它。

我们可以用它来编写更快，更简单的步骤：


def step3(array, i):
    window = np.array([1, 1, 1])
    array[i] = np.correlate(array[i-1], window, mode='same') % 2

当我们使用np.correlate时，窗口不必与数组大小相同，因此使窗口更简单一些。

mode参数决定结果的大小。你可以阅读 NumPy 文档中的详细信息，但是当模式为'same'时，结果与输入大小相同。

5.12 CA 表

现在还差一步。如果 CA 规则仅取决于邻居的总和，那么我们迄今为止的函数仍然有效，但大多数规则还取决于哪些邻居是开或者关的。例如，100 和 001 可能会产生不同的结果。

我们可以使用一个包含元素[4,2,1]的窗口，使step更加通用，它将邻域解释为一个二进制数。例如，邻域 100 产生 4；010 产生 2，001 产生 1。然后我们可以在规则表中查找这些结果。

以下是更一般的步骤：


def step4(array, i):
    window = np.array([4, 2, 1])
    corr = np.correlate(array[i-1], window, mode='same')
    array[i] = table[corr]

前两行几乎相同。最后一行在table中查找corr的每个元素，并将结果赋给array[i]。

最后，这是计算表的函数：


def make_table(rule):
    rule = np.array([rule], dtype=np.uint8)
    table = np.unpackbits(rule)[::-1]
    return table

参数rule是一个 0 到 255 的整数。第一行将规则放入单个元素的数组中，以便我们可以使用unpackbits，将规则编号转换为其二进制表示形式。例如，以下是规则 150 的表：


>>> table = make_table(150)
>>> print(table)
[0 1 1 0 1 0 0 1]

在thinkcomplexity.py中，你将找到CA的定义，它封装了本节中的代码，以及两个绘制 CA 的类，PyplotDrawer和EPSDrawer。

5.13 练习

练习 1

本章的代码位于本书仓库的 Jupyter 笔记本chap05.ipynb中。打开这个笔记本，阅读代码，然后运行单元格。你可以使用这个笔记本来做本章的练习。我的解决方案在chap05soln.ipynb中。

练习 2

这个练习要求你试验规则 110 以及它的一些飞船。

阅读规则 110 的维基百科页面，其中描述了其背景图案和飞船：https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_110。
使用产生稳定背景图案的初始条件创建 CA 规则 110。

请注意，CA 类提供了start_string，它允许你使用 1 和 0 的字符串初始化数组的状态。
通过在行的中心添加不同的图案来修改初始条件，并查看哪些产生了飞船。对于一些n的合理的值，你可能想列举所有可能的n位图案。对于每个飞船，你能找到平移的时间和速度吗？你能找到的最大的飞船是什么？
当宇宙飞船相撞时会发生什么？

练习 3

这个练习的目标是实现一个图灵机。

阅读 http://en.wikipedia.org/wiki/Turing_machine 来了解图灵机。
编写一个名为Turing的类来实现图灵机。对于动作表，使用三个状态的 Busy Beaver 的规则。
写一个名为TuringDrawer的类，该类生成一个图像，表示磁带状态以及磁头位置和状态。可能的外观的一个示例，请参阅 http://mathworld.wolfram.com/TuringMachine.html。

练习4

本练习要求你执行并测试几个 PRNG。为了进行测试，你需要安装 DieHarder，你可以从 https://www.phy.duke.edu/~rgb/General/dieharder.php 下载 DieHarder，也可能为你的操作系统作为软件包提供。
编写一个程序，实现 http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_congruential_generator 中描述的线性同余生成器之一。使用 DieHarder 进行测试。
阅读 Pythonrandom模块的文档。它使用了什么 PRNG？测试它。
使用几百个细胞实现 CA 规则 30，在合理的时间内以尽可能多的时间步骤运行它，然后将中心列输出为位序列。测试它。

练习5

可证伪性是一个吸引人的和有用的想法，但在科学哲学家中，它并不普遍视为界限的解决方案，正如波普尔所声称的那样。

阅读 http://en.wikipedia.org/wiki/Fififiability 并回答以下问题。

界限问题是什么？
根据波普尔的说法，可证伪性是否解决了界限问题？
给出两个理论示例，一个被认为是科学，另一个被认为是非科学，它们由可证伪性的标准成功地区分开。
你能总结出科学哲学家和历史学家对波普尔的主张提出的，一个或多个反对意见吗？
你是否有这样的感觉，即实践哲学家对波普尔的工作给予高度评价？

复杂性思维中文第二版五、细胞自动机

五、细胞自动机

5.1 简单的 CA

5.2 Wolfram 的实验

5.3 CA 的分类

5.4 随机性

5.5 确定性

5.6 飞船

5.7 通用性

5.8 可证伪性

5.9 这是什么模型？

5.10 CA 的实现

5.11 互相关

5.12 CA 表

5.13 练习

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