一：背景

第一此介绍稀疏矩阵是在数据结构学习时，然后当时并没有多么用心的去学习它，因为，感觉它在实际应用中很少遇见，直到后来自己看了基于用户的协同过滤推荐算法时，才有了较大的感触，在协同过滤中稀疏矩阵产生的背景是，例如下表是某宝N个用户对购买商品的评分，因为某宝的商品特别多，所以各个用户之间的交集就小了，此时便产生了稀疏矩阵

那么下面我们针对稀疏矩阵做以下总结和讨论

二：什么是稀疏矩阵？

数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非零元素的分布没有规律的矩阵称为稀疏矩阵（sparse），

其实往往对于稀疏矩阵的定义并没有明确的规则或者标准，更大程度上是根据人的经验准则来进行判断的。

三：为什么要对稀疏矩阵进行压缩存储以及主要的压缩存储的方式？

由于稀疏矩阵中存在大量的“空”值，占据了大量的存储空间，而真正有用的数据却少之又少，且在计算时浪费资源，所以要进行压缩存储以节省存储空间和计算方便。

拿下面这个图来举例

这里我们首先采用三元组表示方法来表示稀疏矩阵，例如上边的稀疏矩阵可以表示为：

( (1,4,22),(1,7,15),(2,2,11),(3,4,-6),(4,6,39),(6,3,28) )

接下来我们讨论存储方式

1：顺序存储

若把稀疏矩阵的三元组线性表按顺序存储结构存储，则称为稀疏矩阵的三元组顺序表。
　　顺序表中除了存储三元组外，还应该存储矩阵行数、列数和总的非零元素数目，这样才能唯一的确定一个矩阵。

(1)用一个二维数组A[0..m,1..3]:Integer

(2)存储方法：a[0,1]——总行数，a[0,2]——总列数，a[0,3]——存放非零元素个数

(3)按行存放：每个非零元素所在行，列数以及值

顺序存储的缺点：

与用二维数组存储稀疏矩阵比较，用三元组表表示的稀疏矩阵不仅节约了空间，而且使得矩阵某些运算的时间比经典算法还少，但是在进行矩阵加法，减法和乘法等运算时，有时矩阵中的非零元素的位置和个数会发生很大的变化，如A = A+ B，将矩阵B加到矩阵A上，此时若还用三元组顺序表，势必会为了保持三元组表 “ 以行序为主序”而移动大量的元素

2：链式存储（即稀疏矩阵的三元链表）

链式存储又可以分为三类：

(1)三元组链表：用链表存储的三元线性表

(2) 行指针数组结果的三元组链表：把每行非零元素三元组组织乘一个单链表，再设计一个指针类型的数组存储所有单链表的头指针

(3)三元组十字链表：用的最多的形式，把非零元素三元组按行和按列组织乘单链表，这样稀疏矩阵的每个非零元素三元组节点都将即勾链在行单链表上，又都勾链在列单链表上，形成十字链表。

表结点，行头结点和列结点，总表头结点

3：两种存储方式的比较

三元组顺序表：非零元素在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算，但是，若需按行号存取某一行的非零元素，则需从头开始进行查找。（时间复杂度高）

行逻辑连接的顺序表：便于随机存取任意一行的非零元素

十字链表：当家族很的非零元素个数和位置操作过程中变化较大时，就不适宜采用顺序存储结构来表示三元组的线性表

四：稀疏矩阵的相关运算

1：转置

2：基于顺序表存储的稀疏矩阵乘法的实现

前提条件是：前者矩阵的列和后者矩阵的行数目相同，即m*n n*p，如下两个矩阵，进行矩阵相乘

其遵循的主要规则是：

C[ i ][ j ] = sum（A[ i ][ k ] * B[ k ][ j ]） (k从1到n)

每一次从A矩阵的第一个开始进行遍历（1，2，12）：
在B中发现（2，1，3），可以计算得到C[ 1 ][ 1 ] = 36
B中继续后移发现（2，4，2），可以计算得到C[ 1 ][ 4 ]=24
知道B遍历完毕
从A中第二个（1，3，9）开始遍历：
在B中发现（3，1，-3），可以计算得到C[ 1 ][ 1 ] = -27，由于上一次遍历以及得到C[ 1 ][ 1 ]=36 ，所以两者相加，结果为C[ 1 ][ 1 ]=9
B中继续后移发现（3，2，1），可以计算得到C[ 1 ][ 2 ] = 9，由于之前遍历没有得到这个结果，所以不用相加，继续遍历
.......
直到所有遍历结束
得到的计算结果为：
C[ 1 ][ 1 ] = 9，C[ 1 ][ 2 ] = 9，C[ 3 ][ 3 ] = -12，C[ 3 ][ 4 ] = 42，C[ 4 ][ 1 ] = -42，C[ 4 ][ 2 ] = 24，
C[ 5 ][ 1 ] = 54，C[ 5 ][ 4 ] = 36，C[ 6 ][ 2 ] = -14，C[ 6 ][ 3 ]=46
其三元组表示为：
（（1，1，9），（1，2，9），（3，3，-12），（3，4，42），（4，1，-42），（4，2，24），（5，1，54），（5，4，36），（6，2，-14），（6，3，46））

3：基于两个十字链表存储的稀疏矩阵的加法

该部分参考：点击查看

首先矩阵A和B满足矩阵相加的条件即两者的行列数相同

已知两个稀疏矩阵A 和B，分别采用十字链表存储，计算C=A+B，C 也采用十字链表方式存储，并且在A 的基础上形成C。

由矩阵的加法规则知，只有A 和B 行列对应相等，二者才能相加。C 中的非零元素cij 只可能有３种情况：或者是aij+bij，或者是aij (bij=0)，或者是bij (aij=0)，因此当B 加到A 上时，对A 十字链表的当前结点来说，对应下列四种情况：或者改变结点的值（aij+bij≠０），或者不变（bij＝０），或者插入一个新结点（aij＝０），还可能是删除一个结点（aij+bij＝０）。整个运算从矩阵的第一行起逐行进行。对每一行都从行表的头结点出发，分别找到A 和B 在该行中的第一个非零元素结点后开始比较，然后按４种不同情况分别处理。

设pa和pb 分别指向A 和B 的十字链表中行号相同的两个结点，４种情况如下：

(1) 若pa->col=pb->col 且pa->v+pb->v≠0，则只要用aij+bij 的值改写pa 所指结点的值域即可。

(2) 若pa->col=pb->col 且pa->v+pb->v=0，则需要在矩阵A 的十字链表中删除pa 所指结点，此时需改变该行链表中前趋结点的right 域，以及该列链表中前趋结点的down 域。

(3) 若pa->col < pb->col 且pa->col≠0（即不是表头结点），则只需要将pa 指针向右推进一步，并继续进行比较。

(4) 若pa->col > pb->col 或pa->col＝0（即是表头结点），则需要在矩阵A 的十字链表中插入一个pb 所指结点。