1．简单介绍(Brief Introduction)
在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其它著名的理论（比如傅立叶变换。泰勒级数等等）一样。卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是。他是个现代人！
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机project学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们如今要学习的卡尔曼滤波器。正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预測问题的新方法）。假设对这编论文有兴趣。能够到这里的地址下载： http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf
卡尔曼滤波器究竟是干嘛的？我们来看下wiki上的解释：
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的。包括噪声的。对物体位置的观察序列（可能有偏差）预測出物体的位置的坐标及速度。在非常多project应用(如雷达、计算机视觉)中都能够找到它的身影。同一时候。卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统project中的一个重要课题。
比如,对于雷达来说，人们感兴趣的是其能够跟踪目标。但目标的位置、速度、加速度的測量值往往在不论什么时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息。设法去掉噪声的影响。得到一个关于目标位置的好的预计。这个预计能够是对当前目标位置的预计(滤波)，也能够是对于将来位置的预计(预測)，也能够是对过去位置的预计(插值或平滑)。
斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心訪问时。发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预測非常实用。后来阿波罗飞船的导航电脑便使用了这样的滤波器。 关于这样的滤波器的论文由Swerling (1958)、Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。
眼下,卡尔曼滤波已经有非常多不同的实现.卡尔曼最初提出的形式如今一般称为简单卡尔曼滤波器。除此以外。还有施密特扩展滤波器、信息滤波器以及非常多Bierman, Thornton 开发的平方根滤波器的变种。
或许最常见的卡尔曼滤波器是锁相环。它在收音机、计算机和差点儿不论什么视频或通讯设备中广泛存在。
为了能够更加easy的理解卡尔曼滤波器。首先应用形象的描写叙述方法来解说，然后我们结合其核心的5条公式进行进一步的说明和探索。
结合现代的计算机，事实上卡尔曼的程序相当的简单，仅仅要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前。先让我们来依据以下的样例做个直观的解释。
如果我们要研究的对象是一个房间的温度。依据你的经验推断，这个房间的温度是恒定的。也就是下一分钟的温度等于如今这一分钟的温度（如果我们用一分钟来做时间单位）。
如果你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。
我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的并且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，可是这个温度计也不准确的，測量值会比实际值偏差。
我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，如今对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你依据经验的预測值（系统的预測值）和温度计的值（測量值）。以下我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。
首先你要依据k-1时刻的温度值。来预測k时刻的温度。由于你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预測值是跟k-1时刻一样的。如果是23度，同一时候该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3。你对自己预測的不确定度是4度。他们平方相加再开方，就是5）。然后。你从温度计那里得到了k时刻的温度值，如果是25度。同一时候该值的偏差是4度。
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，各自是23度和25度。到底实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？到底相信谁多一点，我们能够用他们的covariance来推断。由于Kg=5^2/(5^2+4^2)。所以Kg=0.6098，我们能够估算出k时刻的实际温度值是：23+0.6098*(25-23)=24.22度。能够看出，由于温度计的covariance比較小（比較相信温度计）。所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
如今我们已经得到k时刻的最优温度值了。下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到如今为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前。我们还要算出k时刻那个最优值（24.22度）的偏差。算法例如以下：((1-Kg)*5^2)^0.5=3.12。这里的5就是上面的k时刻你预測的那个23度温度值的偏差，得出的3.12就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（相应于上面的3）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归。从而估算出最优的温度值。
他执行的非常快。并且它仅仅保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。
他能够随不同的时刻而改变他自己的值。是不是非常奇妙！
以下就要言归正传，讨论真正project系统上的卡尔曼。
在这一部分，我们就来描写叙述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。以下的描写叙述。会涉及一些主要的概念知识，包含概率（Probability），随即变量（Random Variable）。高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的具体证明，这里不能一一描写叙述。
首先。我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描写叙述。我们结合以下PPT截图进行说明：
上两式子中。x(k)是k时刻的系统状态，u(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统參数，对于多模型系统，他们为矩阵。
y(k)是k时刻的測量值，H是測量系统的參数，对于多測量系统，H为矩阵。q(k)和r(k)分别表示过程和測量的噪声。他们被如果成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance各自是Q，R（这里我们如果他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和測量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
先给出KF算法的流程和五个核心更新方程例如以下：
KF算法
五个更新方程为：
编写公式不方便。所以写成了PDF然后做了截图粘在了以下。以下就上面的样例和五个核心的公式对Kalman算法进行下说明：
就这样，算法就能够自回归的运算下去。
看到这聪明的同学可能已经看出来了，问道卡尔曼增益为什么会是第三步中那样求，如今仅仅大致说一下原理。详细推到比較复杂，有兴趣的同学能够參考这文献去推一推。
还记得前面我们说的误差协方差矩阵$P_k$么，即求第k次最优温度的误差协方差矩阵。相应于上例中的3和3.12....这些值。
看以下PPT，我们最小化P就可以得到卡尔曼增益K，相应上例求解K仅仅最小化最优温度值的偏差，即最小化P(K)：
我们由第四步能够看出。k时刻系统的最优温度值=k-1时刻状态预计值（由上一状态的最优温度值加上过程误差）+带卡尔曼增益权值项的偏差。假设观測误差远远大于预计误差。那么K就非常小，k时刻的预測值约等于k时刻的状态预计值。假设对i时刻的状态预计值误差远远大于观測误差。此时对应的q较大，K较大，i时刻的状态预计值更倾向于观察的数据。
卡尔曼滤波器的原理基本描写叙述就完毕了。希望能帮助大家理解这这5个公式，其算法能够非常easy的用计算机的程序实现。以下，我会用程序举一个实际执行的样例。
4． 简单样例（A Simple Example）
这里我们结合第二第三节。举一个很easy的样例来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的样例是进一步描写叙述第二节的样例，并且还会配以程序模拟结果。
根第二节的描写叙述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。
当然，我们见的模型不须要很地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度同样的，所以A=1。
没有控制量，所以u(k)=0。因此得出：
x(k|k-1)=x(k-1|k-1) ……… (6)
式子（2）能够改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
由于測量的值是温度计的，跟温度直接相应。所以H=1。式子3，4，5能够改成下面：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
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