本节书摘来华章计算机出版社《R的极客理想——高级开发篇 A》一书中的第1章，第1.2节，作者：张丹 更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。
1.2 R语言中的数学计算
问题
如何用R语言进行数学计算？
引言
R语言是统计语言，生来就对数学有良好的支持，用R语言做数学的计算题特别方便。如果计算器中能嵌入R语言的计算函数，那么绝对是一种高科技产品。我真的把R语言当成我的计算器了！
1.2.1 基本计算
R语言对数学计算有着非常好的支持，本节将完整介绍初等数学中的各种计算操作。
本节的系统环境是：
Windows 7 64bit
R: 3.1.1 x86_64-w64-mingw32/x64 (64-bit)
用R语言实现四则运算操作，包括加、减、乘、除、余数、整除、绝对值、判断正负。
> a<-10;b<-5 # 定义2个变量
> a+b;a-b;a*b;a/b # 加减乘除
[1] 15
[1] 5
[1] 50
[1] 2
> a%%b;a%/%b # 余数，整除
[1] 0
[1] 2
> abs(-a) # 绝对值
[1] 10
> sign(-2:3) # 判断正负
[1] -1 -1 0 1 1 1
用R语言实现数学计算操作，包括幂、自然常数e的幂、平方根、对数。
> a<-10;b<-5;c<-4 # 定义3个变量
> c^b;c^-b;c^(b/10) # 幂运算
[1] 1024
[1] 0.0009765625
[1] 2
> exp(1) # 取自然常数e
[1] 2.718282
> exp(3) # 自然常数e的幂
[1] 20.08554
> sqrt(c) # 平方根
[1] 2
> log2(c) # 以2为底的对数
[1] 2
> log10(b) # 以10为底的对数
[1] 0.69897
> log(c,base = 2) # 自定义底的对数
[1] 2
> log(a,base=exp(1)) # 自然常数e的对数
[1] 2.302585
> log(a^b,base=a) # 指数对数操作
[1] 5
> log(exp(3))
[1] 3
用R语言实现比较计算操作，包括==、>、<、!=、<=、>=、isTRUE、identical。
> a<-10;b<-5 # 定义2个变量
> a==a;a!=b;a>b;a<b;a<=b;a>=c # 比较计算
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] FALSE
[1] FALSE
[1] TRUE
> isTRUE(a) # 判断是否为TRUE
[1] FALSE
> isTRUE(!a)
[1] FALSE
> identical(1, as.integer(1)) # 精确比较两个对象
[1] FALSE
> identical(NaN, -NaN)
[1] TRUE
> f <- function(x) x
> g <- compiler::cmpfun(f)
> identical(f, g)
[1] TRUE
用R语言实现逻辑计算操作，包括&、|、&&、||、xor。
> x<-c(0,1,0,1) # 定义2个向量
> y<-c(0,0,1,1)
> x && y;x || y # 只比较向量的第一个元素 &&, ||
[1] FALSE
[1] FALSE
> x & y;x | y # S4对象的逻辑运算，比较所有元素 &, |
[1] FALSE FALSE FALSE TRUE
[1] FALSE TRUE TRUE TRUE
> xor(x,y) # 异或比较
[1] FALSE TRUE TRUE FALSE
> xor(x,!y)
[1] TRUE FALSE FALSE TRUE
用R语言实现约数计算操作，包括ceiling、floor、trunc、round、signif。
> ceiling(5.4) # 向上取整
[1] 6
> floor(5.8) # 向下取整
[1] 5
> trunc(3.9) # 取整数
[1] 3
> round(5.8) # 四舍五入
[1] 6
> round(5.8833, 2) # 四舍五入，并保留2位小数
[1] 5.88
> signif(5990000,2) # 四舍五入，保留前2位整数
[1] 6e+06
用R语言实现数组计算操作，包括求最大值、求最小值、范围、求和、均值、加权平均、连乘、差分、秩、中位数、分位数、任意数、全体数。
> d<-seq(1,10,2);d # 定义1个向量
[1] 1 3 5 7 9
> max(d);min(d);range(d) # 求最大值、最小值、范围range
[1] 9
[1] 1
[1] 1 9
> sum(d);mean(d) # 求和、均值
[1] 25
[1] 5
> weighted.mean(d,rep(1,5)) # 加权平均
[1] 5
> weighted.mean(d,c(1,1,2,2,2))
[1] 5.75
> prod(1:5) # 连乘
[1] 120
> diff(d) # 差分
[1] 2 2 2 2
> rank(d) # 秩
[1] 1 2 3 4 5
> median(d) # 中位数
[1] 5
> quantile(d) # 分位数
0% 25% 50% 75% 100%
1 3 5 7 9
> any(d<5);all(d<5) # 任意条件any，全体条件all
[1] TRUE
[1] FALSE
用R语言实现排列组合计算操作，包括阶乘、组合、排列。
> factorial(5) # 阶乘5!
[1] 120
> choose(5, 2) # 组合，从5个中选出2个
[1] 10
> combn(5,2) # 列出从5个中选出2个的所有组合项
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
[2,] 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5
> for (n in 0:10) print(choose(n, k = 0:n)) # 计算0:10的组合个数
[1] 1
[1] 1 1
[1] 1 2 1
[1] 1 3 3 1
[1] 1 4 6 4 1
[1] 1 5 10 10 5 1
[1] 1 6 15 20 15 6 1
[1] 1 7 21 35 35 21 7 1
[1] 1 8 28 56 70 56 28 8 1
[1] 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
[1] 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
> choose(5, 2)*factorial(2) # 排列，从5个中选出2个
[1] 20
用R语言实现累积计算操作，包括累加、累乘、最小累积、最大累积。
> cumsum(1:5) # 累加
[1] 1 3 6 10 15
> cumprod(1:5) # 累乘
[1] 1 2 6 24 120
> e<-seq(-3,3);e # 定义一个向量
[1] -3 -2 -1 0 1 2 3
> cummin(e) # 最小累积cummin
[1] -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3
> cummax(e) # 最大累积cummax
[1] -3 -2 -1 0 1 2 3
用R语言实现两个数组的计算操作，包括取交集、并集、差集、数组是否相等、取唯一、查匹配元素的索引、找重复元素索引。
> x <- c(9:20, 1:5, 3:7, 0:8);x # 定义两个数组向量
[1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5
[18] 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8
> y<- 1:10;y
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
> intersect(x,y) # 交集
[1] 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8
> union(x,y) # 并集
[1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5
[18] 6 7 0 8
> setdiff(x,y) # 差集，从x中排除y
[1] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0
> setequal(x, y) # 判断是否相等
[1] FALSE
> unique(c(x,y)) # 取唯一
[1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5
[18] 6 7 0 8
> which(x %in% y) # 找到x在y中存在的元素的索引
[1] 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
[18] 29 30 31
> which(is.element(x,y)) # 同%in%
[1] 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
[18] 29 30 31
> which(duplicated(x)) # 找到重复元素的索引
[1] 18 19 20 24 25 26 27 28 29 30
1.2.2 三角函数计算
1．?三角函数
在直角三角形中仅有锐角（大小在0～90度之间的角）三角函数的定义。给定一个锐角θ，可以做出一个直角三角形，使得其中的一个内角是θ。设这个三角形中，θ的对边、邻边和斜边长度分别是a、b和h，如图1-3所示。
三角函数的6种关系：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
θ的正弦是对边与斜边的比值：sinθ=a/h
θ的余弦是邻边与斜边的比值：cosθ=b/h
θ的正切是对边与邻边的比值：tanθ=a/b
θ的余切是邻边与对边的比值：cotθ=b/a
θ的正割是斜边与邻边的比值：secθ=h/b
θ的余割是斜边与对边的比值：cscθ=h/a
三角函数的特殊值。
函数 0 π/12 π/6 π/4 π/3 5/(12*π) π/2
sin 0 (-)/4 1/2 /2 /2 (+)/4 1
cos 1 (+)/4 /2 /2 1/2 (-)/4 0
tan 0 2- /3 1 2+ /
cot NA 2+ 1 /3 2- 0
sec 1 - 2/3 2 - /
csc NA 2 2/3 - 1 /
用R语言实现三角基本函数计算，包括正弦、余弦、正切。
> sin(0);sin(1);sin(pi/2) # 正弦
[1] 0
[1] 0.841471
[1] 1
> cos(0);cos(1);cos(pi) # 余弦
[1] 1
[1] 0.5403023
[1] -1
> tan(0);tan(1);tan(pi) # 正切
[1] 0
[1] 1.557408
[1] -1.224647e-16
接下来，我们用ggplot2包来画出三角函数的图形。
> library(ggplot2) # 加载ggplot2的库
> library(scales)
三角函数画图，以下代码生成三角函数曲线，如图1-4所示。
> x<-seq(-2*pi,2*pi,by=0.01) # x坐标
> s1<-data.frame(x,y=sin(x),type=rep('sin',length(x))) # y坐标，正弦
> s2<-data.frame(x,y=cos(x),type=rep('cos',length(x))) # y坐标，余弦
> s3<-data.frame(x,y=tan(x),type=rep('tan',length(x))) # y坐标，正切
> s4<-data.frame(x,y=1/tan(x),type=rep('cot',length(x))) # y坐标，余切
> s5<-data.frame(x,y=1/cos(x),type=rep('sec',length(x))) # y坐标，正割
> s6<-data.frame(x,y=1/sin(x),type=rep('csc',length(x))) # y坐标，余割
> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)
> g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))
> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(-2, 2))
> g<-g+scale_x_continuous(breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),labels=c("-2*pi",
"-pi","0","pi","2*pi"))
> g
2.?反三角函数
基本的反三角函数定义如下。
反三角函数 定义 值域
arcsin(x) = y sin(y) = x -π/2 <= y <= π/2
arccos(x) = y cos(y) = x 0 <= y <= π,
arctan(x) = y tan(y) = x -π/2 < y < π/2
arccsc(x) = y csc(y) = x -π/2 <= y <= π/2, y!=0
arcsec(x) = y sec(y) = x 0 <= y <= π, y!=π/2
arccot(x) = y cot(y) = x 0 < y < π
用R语言实现反三角函数的计算，包括反正弦、反余弦、反正切。
> asin(0);asin(1) # 反正弦asin
[1] 0
[1] 1.570796 # pi/2=1.570796
> acos(0);acos(1) # 反余弦acos
[1] 1.570796 # pi/2=1.570796
[1] 0
> atan(0);atan(1) # 反正切atan
[1] 0
[1] 0.7853982 # pi/4=0.7853982
反三角函数画图，以下代码生成反三角函数曲线，如图1-5所示。
> x<-seq(-1,1,by=0.005) # x坐标
> s1<-data.frame(x,y=asin(x),type=rep('arcsin',length(x))) # y坐标，反正弦
> s2<-data.frame(x,y=acos(x),type=rep('arccos',length(x))) # y坐标，反余弦
> s3<-data.frame(x,y=atan(x),type=rep('arctan',length(x))) # y坐标，反正切
> s4<-data.frame(x,y=1/atan(x),type=rep('arccot',length(x))) # y坐标，反余弦
> s5<-data.frame(x,y=1/asin(x),type=rep('arcsec',length(x))) # y坐标，反正割
> s6<-data.frame(x,y=1/acos(x),type=rep('arccsc',length(x))) # y坐标，反余弦
> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)
> g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))
> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(-2*pi,2*pi),breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),
labels=c("-2*pi","-pi","0","pi","2*pi"))
> g
3.?三角函数公式
接下来，用单元测试的方式来描述三角函数的数学公式，公式的左边等于公式的右边。通过testthat包进行单元测试，关于testthat包的安装和使用，请参考5.2节。
使用expect_that(right, left)函数，把公式的左右两边表达式，分别以参数形式传入函数中。运行expect_that()函数，如果没有返回结果则表示两个参数相等，如果有输出则根据输出查看原因。library(testthat) # 加载testthat包
a<-5;b<-10 # 定义变量
平方和公式：
sin2(x)+cos2(x)=1
sin(a)^2+cos(a)^2
[1] 1
> expect_that(1, equals(sin(a)^2+cos(a)^2)) # 用单元测试的方法，判断公式是否两边相等
> expect_that(2, equals(sin(a)^2+cos(a)^2)) # 如果公式两边不相等，会有错误提示
Error: 2 not equal to sin(a)^2 + cos(a)^2
Mean relative difference: 1
和角公式：
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(b)sin(a)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(b)sin(a)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
和角公式的单元测试如下：
> expect_that(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a),equals(sin(a+b)))
> expect_that(sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a),equals(sin(a-b)))
> expect_that(cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a),equals(cos(a+b)))
> expect_that(cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a),equals(cos(a-b)))
> expect_that((tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b)),equals(tan(a+b)))
> expect_that((tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)),equals(tan(a-b)))
2倍角公式：
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
2倍角公式的单元测试如下：
> expect_that(cos(a)^2-sin(a)^2,equals(cos(2*a)))
> expect_that(2*cos(a)^2-1,equals(cos(2*a)))
> expect_that(1-2*sin(a)^2,equals(cos(2*a)))
3倍角公式：
cos(3a)=4cos3(a)-3cos(a)
sin(3a)=-4sin3(a)+3sin(a)
3倍角公式的单元测试如下：
> expect_that(4*cos(a)^3-3*cos(a),equals(cos(3*a)))
> expect_that(-4*sin(a)^3+3*sin(a),equals(sin(3*a)))
半角公式：
半角公式的单元测试如下：
> expect_that(sqrt((1-cos(a))/2),equals(abs(sin(a/2))))
> expect_that(sqrt((1+cos(a))/2),equals(abs(cos(a/2))))
> expect_that(sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))
> expect_that(abs(sin(a)/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))
> expect_that(abs((1-cos(a))/sin(a)),equals(abs(tan(a/2))))
和差化积：
sin(a)cos(b)=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cos(a)sin(b)=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cos(a)cos(b)=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sin(a)sin(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/2
和差化积公式的单元测试如下：
> expect_that((sin(a+b)+sin(a-b))/2,equals(sin(a)*cos(b)))
> expect_that((sin(a+b)-sin(a-b))/2,equals(cos(a)*sin(b)))
> expect_that((cos(a+b)+cos(a-b))/2,equals(cos(a)*cos(b)))
> expect_that((cos(a-b)-cos(a+b))/2,equals(sin(a)*sin(b)))
积化和差：
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a+b)/2)
sin(a)-sin(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
积化和差公式的单元测试如下：
> expect_that(sin(a)+sin(b),equals(2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)))
> expect_that(sin(a)-sin(b),equals(2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)))
> expect_that(2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2),equals(cos(a)+cos(b)))
> expect_that(-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2),equals(cos(a)-cos(b)))
万能公式：
sin(2a)=2tan(a)/(1+tan2(a))
cos(2a)=(1-tan2(a))/(1+tan2(a))
tan(2a)=2tan(a)/(1-tan2(a))
万能公式的单元测试如下：
> expect_that(sin(2*a),equals(2*tan(a)/(1+tan(a)^2)))
> expect_that((1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2),equals(cos(2*a)))
> expect_that(2*tan(a)/(1-tan(a)^2),equals(tan(2*a)))
平方差公式：
sin(a+b)sin(a-b)=sin2(a)+sin2(b)
cos(a+b)cos(a-b)=cos2(a)+sin2(b)
平方差公式的单元测试如下：
> expect_that(sin(a)^2-sin(b)^2,equals(sin(a+b)*sin(a-b)))
> expect_that(cos(a)^2-sin(b)^2,equals(cos(a+b)*cos(a-b)))
降次升角公式：
cos2(a)=(1+cos(2a))/2
sin2(a)=(1-cos(2a))/2
降次升角公式的单元测试如下：
> expect_that((1+cos(2*a))/2,equals(cos(a)^2))
> expect_that((1-cos(2*a))/2,equals(sin(a)^2))```
辅助角公式：
辅助角公式的单元测试如下：
> expect_that(sqrt(a^2+b^2)*sin(a+atan(b/a)),equals(a*sin(a)+b*cos(a)))
**1.2.3 复数计算**
复数为实数的延伸，它使任一多项式都有根。复数中的虚数单位i，是-1的一个平方根，即i2=-1。任一复数都可表达为x + yi，其中x及y皆为实数，分别称为复数之“实部”和“虚部”。
1.?创建一个复数ai<-5+2i;ai # 直接创建复数
[1] 5+2i
class(ai) # 查看复数的类型
[1] "complex"
> bi<-complex(real=5,imaginary=2);bi # 通过complex()函数创建复数[1] 5+2i
is.complex(bi)
[1] TRUE
Re(ai) # 实数部分
[1] 5
Im(ai) # 虚数部分
[1] 2
Mod(ai) # 取模
[1] 5.385165 # sqrt(5^2+2^2) = 5.385165
Arg(ai) # 取辐角
[1] 0.3805064
Conj(ai) # 取轭
[1] 5-2i
2.?复数四则运算
加法公式：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
减法公式：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
乘法公式：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i
除法公式：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c2+d2)a<-5;b<-2;c<-3;d<-4
ai<-complex(real=a,imaginary=b)
bi<-complex(real=c,imaginary=d)
复数四则运算的单元测试如下：expect_that(complex(real=(a+c),imaginary=(b+d)),equals(ai+bi))
expect_that(complex(real=(a-c),imaginary=(b-d)),equals(ai-bi))
expect_that(complex(real=(ac-bd),imaginary=(ad+bc)),equals(ai*bi))
expect_that(complex(real=(ac+bd),imaginary=(bc-ad))/(c^2+d^2),equals(ai/bi))
3.?复数开平方根
> sqrt(-9) # 在实数域，给-9开平方根
[1] NaN
Warning message:
In sqrt(-9) : NaNs produced
> sqrt(complex(real=-9)) # 在复数域，给-9开平方根
[1] 0+3i
**1.2.4 方程计算**
方程计算是数学计算的一种基本形式，R语言也可以很方便地帮助我们解方程，下面将介绍一元多次方程和二元一次方程的解法。解一元多次方程，可以用uniroot()函数。
1.?一元一次方程
一元一次方程：ax+b=0，设a=5，b=10，求x？
> f1 <- function (x, a, b) a*x+b # 定义方程函数
> a<-5;b<-10 # 给a,b常数赋值
> result <- uniroot(f1,c(-10,10),a=a,b=b,tol=0.0001) # 在(-10,10)的区间，精确度
# 为0.0001位，计算方程的根
> result$root # 打印方程的根x
[1] -2
一元一次方程非常容易解得，方程的根是-2！以图形展示函数：y=5x+10，如图1-6所示。x<-seq(-5,5,by=0.01) # 创建数据点
y<-f1(x,a,b)
df<-data.frame(x,y)g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2来画图
g<-g+geom_line(col='red') # 红色直线
g<-g+geom_point(aes(result$root,0),col="red",size=3) # 点
g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) # 坐标轴
g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x +",b))
g
图1-6 函数y=5x+10
2.?一元二次方程
一元二次方程：ax2+bx+c=0，设a=1，b=5，c=6，求x？
> f2 <- function (x, a, b, c) a*x^2+b*x+c
> a<-1;b<-5;c<-6
> result <- uniroot(f2,c(0,-2),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
> result$root
[1] -2
把参数带入方程，用uniroot()函数，我们就解出了方程的一个根，改变计算的区间，我们就可以得到另一个根。
> result <- uniroot(f2,c(-4,-3),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
> result$root
[1] -3
方程的两个根，一个是-2，一个是-3。
由于uniroot()函数每次只能计算一个根，而且要求输入的区间端点值必须是正负号相反的。如果我们直接输入（-10,0）这个区间，那么uniroot()函数会出现错误。
> result <- uniroot(f2,c(-10,0),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
Error in uniroot(f2, c(-10, 0), a = a, b = b, c = c, tol = 1e-04) :
# 位于极点边的f()值之正负号不相反
这应该是uniroot()为了统计计算一元多次方程而设计的，所以为了使用uniroot()函数，我们需要取不同的区间来获得方程的根。以图形展示函数：y=x2+5x+6，如图1-7所示。
> x<-seq(-5,1,by=0.01) # 创建数据点
> y<-f2(x,a,b,c)
> df<-data.frame(x,y)
> g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2来画图
> g<-g+geom_line(col='red') # 红色曲线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) # 坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 2 +",b,"* x +",c))
> g
图1-7 函数y=x2+5x+6
我们从图1-7中可以很明显看到x的两个根的取值范围。
3.?一元三次方程
一元三次方程：ax3+bx2+cx+d=0，设a=1，b=5，c=6，d=-11，求x？
> f3 <- function (x, a, b, c,d) a*x^3+b*x^2+c*x+d
> a<-1;b<-5;c<-6;d<--11
> result <- uniroot(f3,c(-5,5),a=a,b=b,c=c,d=d,tol=0.0001)
> result$root
[1] 0.9461458
如果我们设置对了取值区间，那么很容易就可以得到方程的根。以图形展示函数：y=x3+ 5x2+6x-11，如图1-8所示。
> x<-seq(-5,5,by=0.01) # 创建数据点
> y<-f3(x,a,b,c,d)
> df<-data.frame(x,y)
> g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(col='red') # 3次曲线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) # 坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 3 +",b,"* x ^2 +",c,"* x + ",d))
> g
图1-8 函数y=x3+5x2+6x-11
4.?二元一次方程组
R语言还可以用来解二元方程组，当然计算方法其实是利用了矩阵计算。
下面是x1, x2两个未知变量组成的方程组，求x1, x2的值。
以矩阵形式来构建方程组就是
> lf<-matrix(c(3,5,1,2),nrow=2,byrow=TRUE) # 左矩阵
> rf<-matrix(c(4,1),nrow=2) # 右矩阵
> result<-solve(lf,rf) # 计算结果
> result
[,1]
[1,] 3
[2,] -1
得方程组的解，x1, x2分别为3和-1。
接下来，我们画出这两个线性方程的图，如图1-9所示。设y=x2, x=x1，把原方程组变成两个函数形式。
> fy1<-function(x) (-3*x+4)/5 # 定义2个函数
> fy2<-function(x) (-1*x+1)/2
> x<-seq(-1,4,by=0.01) # 定义数据
> y1<-fy1(x)
> y2<-fy2(x)
> dy1<-data.frame(x,y=y1,type=paste("y=(-3*x+4)/5"))
> dy2<-data.frame(x,y=y2,type=paste("y=(-1*x+1)/2"))
> df <- rbind(dy1,dy2)
> g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity')) # 2条直线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) # 坐标轴
> g
图1-9 二元一次方程组
我们看到两条直线交点的坐标就是方程组的两个根。多元一次方程同样可以用这种方法来解得。
通过R语言，我们实现了对初等数学的各种计算，真的是非常方便。
